Rekenvoorbeeld: afstand en beginkoers, Las Palmas naar Saint Lucia
1De les in gewone woorden
De bolcosinusregel geeft de grootcirkelafstand. Een tweede formule geeft de beginkoers. Reken een Atlantische oversteek door.
Afstand
cos d = sin L1 × sin L2 + cos L1 × cos L2 × cos d.long. L1 is de vertrekbreedte, L2 de breedte van je bestemming. Geef zuiderbreedten een minteken. d.long is het lengteverschil, nooit meer dan 180°. Reken d om van graden naar minuten: op een bol is elke minuut één zeemijl.
Beginkoers
cos C = (sin L2 − sin L1 × cos d) ÷ (cos L1 × sin d). C loopt van 0° tot 180°, gemeten vanaf het noorden. Kies de richting naar je bestemming: oostwaarts is de koers C; westwaarts is hij 360° − C.
Voorbeeld: gegevens
Van voor de kust bij Las Palmas, 28°07,6′N 015°25,4′W, naar Rodney Bay, Saint Lucia, 14°05,0′N 060°58,0′W. d.long = 45°32,6′ W.
Voorbeeld: afstand
sin 28°07,6′ × sin 14°05,0′ = 0,1147. cos 28°07,6′ × cos 14°05,0′ × cos 45°32,6′ = 0,5991. De som is 0,7138, dus d = 44,455° = 2.667,3 M.
Voorbeeld: koers
De cosinusformule geeft C = 98,7°. Je vaart westwaarts, dus de beginkoers is 360° − 98,7° = 261,3°T. Bij aankomst is de koers veranderd naar 244,0°T.
Vergelijking met de loxodroom
Met mercatornavigatie vind je voor de loxodroom ongeveer 252°T en 2.677,1 M. De grootcirkel bespaart slechts ongeveer 10 M, 0,4 %. Op de WGS84-ellipsoïde, het afgeplatte aardmodel, is de kortste afstand 2.671,7 M. De bolformules wijken hier dus maar enkele mijlen af.
2Stap voor stap
Grootcirkelafstand en beginkoers
- 1
Noteer beide posities; bepaal d.long en geef E of W aan.
d.long moet de kortste weg rond de aarde zijn, maximaal 180°.
- 2
cos d = sin L1 sin L2 + cos L1 cos L2 cos d.long; zuiderbreedten negatief.
De bolcosinusregel lost de driehoek met de pool op.
- 3
Vermenigvuldig d in graden met 60 voor de afstand in zeemijlen.
Op een bol is één boogminuut één zeemijl.
- 4
cos C = (sin L2 − sin L1 cos d) ÷ (cos L1 sin d).
Dit geeft de beginkoershoek vanaf het noorden, 0°–180°.
- 5
Kies de richting: oostwaarts C; westwaarts 360° − C.
De formule laat niet zien naar welke kant van het noorden je draait.
- 6
Vergelijk met de loxodroom en controleer op een kaart.
Een grote fout valt meteen op. De besparing bepaalt of het loont.
3Kerngegevens
- Afstand
- cos d = sin L1 sin L2 + cos L1 cos L2 cos d.long
- Beginkoers
- cos C = (sin L2 − sin L1 cos d) ÷ (cos L1 sin d)
- Afstand in voorbeeld
- Las Palmas → Rodney Bay: 2.667,3 M
- Koersen in voorbeeld
- Beginkoers 261,3°T; eindkoers 244,0°T
- Loxodroom
- Ongeveer 252°T, 2.677,1 M: grootcirkel bespaart ongeveer 10 M
- Controle op ellipsoïde
- Kortste afstand op WGS84: 2.671,7 M
4Kernpunten
- 1
cos d = sin L1 sin L2 + cos L1 cos L2 cos d.long; zuiderbreedten negatief.
- 2
d in graden × 60 = afstand in zeemijlen, op een bol.
- 3
De cosinusformule geeft de beginkoershoek; westwaarts wordt de koers 360° − C.
- 4
Voorbeeld: 2.667,3 M, beginkoers 261,3°T, eindkoers 244,0°T; loxodroom 2.677,1 M.
5Veelgemaakte fouten
Fout: Gebruik de oost-westverheid in mijlen in plaats van d.long in de cosinusformule.
Goed: De formule gebruikt d.long in graden en boogminuten: de hoek bij de pool.
Fout: Neem C = 98,7° als te sturen koers.
Goed: C wordt vanaf het noorden naar een van beide kanten gemeten. Westwaarts is de koers 360° − 98,7° = 261,3°T.
Fout: Geef een zuiderbreedte een plusteken, net als een noorderbreedte.
Goed: Gebruik een minteken voor zuiderbreedte. Anders kloppen afstand en koers niet op routes die de evenaar kruisen.
6Praktijkgeval en examentips
Een bemanningslid rekent Las Palmas naar Rodney Bay uit en vindt 2.667 M en een beginkoers van 098,7°T. De afstand lijkt goed. Klopt het plan?
Toon het antwoord
De afstand klopt, maar de koers wijst iets zuidelijk van oost, weg van het Caribisch gebied. C = 98,7° uit de formule wordt vanaf het noorden gemeten. Westwaarts is de koers 360° − 98,7° = 261,3°T. Een snelle blik op de kaart laat de fout zien: Saint Lucia ligt westzuidwest.
Examentips
- cos d = sin L1 sin L2 + cos L1 cos L2 cos d.long; d × 60 = M.
- cos C = (sin L2 − sin L1 cos d) ÷ (cos L1 sin d); westwaarts: 360° − C.
- Voorbeeld: Las Palmas–Rodney Bay 2.667,3 M, beginkoers 261,3°T, eindkoers 244,0°T.
- Loxodroom 2.677,1 M: besparing ongeveer 10 M op deze breedte.
Dit onderdeel afronden
Als je het gelezen hebt, koppel je de begrippen en beantwoord je daarna drie vragen. Heb je alles goed, dan is het onderdeel afgerond; alleen de pagina openen telt niet.
Mijn notities bij dit onderdeel
Geen notities