Exemplo: distância e rumo inicial, de Las Palmas a Santa Lúcia
1A lição em palavras simples
A fórmula dos cossenos esféricos dá a distância ortodrômica; outra fórmula dá o rumo inicial. Acompanhe o cálculo de uma travessia atlântica.
Distância
cos d = sin L1 × sin L2 + cos L1 × cos L2 × cos d.long. L1 é a latitude de partida e L2, a de destino; use sinal negativo nas latitudes sul. d.long é a diferença de longitude, nunca maior que 180°. Converta d de graus em minutos: cada minuto corresponde a uma milha náutica numa esfera.
Rumo inicial
cos C = (sin L2 − sin L1 × cos d) ÷ (cos L1 × sin d). C varia de 0° a 180°, medido a partir do norte. Oriente-o para seu destino: seguindo para leste, o rumo é C; para oeste, é 360° − C.
Exemplo: dados
Das proximidades de Las Palmas, 28°07,6′N 015°25,4′W, até Rodney Bay, Santa Lúcia, 14°05,0′N 060°58,0′W. d.long = 45°32,6′ W.
Exemplo: distância
sin 28°07,6′ × sin 14°05,0′ = 0,1147. cos 28°07,6′ × cos 14°05,0′ × cos 45°32,6′ = 0,5991. A soma é 0,7138, então d = 44,455° = 2.667,3 M.
Exemplo: rumo
A fórmula dos cossenos dá C = 98,7°. Você segue para oeste, então o rumo inicial é 360° − 98,7° = 261,3°T. Na chegada, o rumo já mudou para 244,0°T.
Comparação com a loxodromia
O cálculo por Mercator dá cerca de 252°T e 2.677,1 M para a loxodromia. A ortodromia economiza apenas cerca de 10 M, 0,4 %. No elipsoide WGS84, a menor distância é 2.671,7 M: aqui, as fórmulas esféricas têm precisão de algumas milhas.
2Passo a passo
Distância ortodrômica e rumo inicial
- 1
Anote as duas posições; encontre d.long e indique E ou W.
d.long deve seguir o caminho mais curto, nunca maior que 180°.
- 2
cos d = sin L1 sin L2 + cos L1 cos L2 cos d.long; latitudes S negativas.
A fórmula dos cossenos esféricos resolve o triângulo com o polo.
- 3
Multiplique d em graus por 60 para obter milhas náuticas.
Numa esfera, um minuto de arco corresponde a uma milha náutica.
- 4
cos C = (sin L2 − sin L1 cos d) ÷ (cos L1 sin d).
Isso dá o ângulo do rumo inicial a partir do norte, de 0° a 180°.
- 5
Oriente o rumo: para leste, C; para oeste, 360° − C.
A fórmula não mostra para qual lado do norte você deve virar.
- 6
Compare com a loxodromia e confira na carta.
Um erro grosseiro aparece logo; a economia indica se vale a pena.
3Dados-chave
- Distância
- cos d = sin L1 sin L2 + cos L1 cos L2 cos d.long
- Rumo inicial
- cos C = (sin L2 − sin L1 cos d) ÷ (cos L1 sin d)
- Distância do exemplo
- Las Palmas → Rodney Bay: 2.667,3 M
- Rumos do exemplo
- Inicial 261,3°T; final 244,0°T
- Loxodromia
- Cerca de 252°T, 2.677,1 M: ortodromia economiza cerca de 10 M
- Conferência no elipsoide
- Menor distância no WGS84: 2.671,7 M
4Pontos-chave
- 1
cos d = sin L1 sin L2 + cos L1 cos L2 cos d.long; latitudes sul negativas.
- 2
d em graus × 60 = distância em milhas náuticas, numa esfera.
- 3
Obtenha o rumo inicial pela fórmula dos cossenos; use 360° − C ao seguir para oeste.
- 4
Exemplo: 2.667,3 M, inicial 261,3°T, final 244,0°T; loxodromia 2.677,1 M.
5Erros frequentes
Erro: Usar o apartamento (milhas) em vez de d.long na fórmula dos cossenos.
Correto: A fórmula exige d.long em graus e minutos de arco: o ângulo no polo.
Erro: Usar C = 98,7° como rumo a governar.
Correto: C é medido a partir do norte para um dos lados. Seguindo para oeste, o rumo é 360° − 98,7° = 261,3°T.
Erro: Dar sinal positivo à latitude sul, como à norte.
Correto: Use sinal negativo na latitude sul. Caso contrário, distância e rumo ficarão errados em qualquer rota que cruze o equador.
6Caso prático e dicas de prova
Um tripulante calcula a rota de Las Palmas a Rodney Bay e obtém 2.667 M e rumo inicial de 098,7°T. A distância parece certa. O plano está correto?
Ver a resposta
A distância está certa, mas o rumo aponta a leste do sudeste, para longe do Caribe. O C = 98,7° da fórmula é medido a partir do norte; seguindo para oeste, o rumo é 360° − 98,7° = 261,3°T. Uma olhada rápida na carta revela o erro: Santa Lúcia fica a oeste-sudoeste.
Dicas de prova
- cos d = sin L1 sin L2 + cos L1 cos L2 cos d.long; d × 60 = M.
- cos C = (sin L2 − sin L1 cos d) ÷ (cos L1 sin d); para oeste: 360° − C.
- Exemplo: Las Palmas–Rodney Bay 2.667,3 M, inicial 261,3°T, final 244,0°T.
- Loxodromia 2.677,1 M: economia de cerca de 10 M nessa latitude.
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