Exemple: distància i rumb inicial, de Las Palmas a Santa Llúcia
1La lliçó en paraules senzilles
La fórmula del cosinus esfèric dona la distància ortodròmica; una altra fórmula dona el rumb inicial. Calcula una travessia atlàntica pas a pas.
Distància
cos d = sin L1 × sin L2 + cos L1 × cos L2 × cos d.long. L1 és la latitud de sortida i L2 la de destinació; posa signe negatiu a les latituds sud. d.long és la diferència de longitud, mai superior a 180°. Passa d de graus a minuts: sobre una esfera, cada minut és una milla nàutica.
Rumb inicial
cos C = (sin L2 − sin L1 × cos d) ÷ (cos L1 × sin d). C va de 0° a 180°, mesurat des del nord. Orienta'l cap a la destinació: si vas cap a l'est, el rumb és C; si vas cap a l'oest, és 360° − C.
Exemple: dades
Des de davant de Las Palmas, 28°07,6′N 015°25,4′W, fins a Rodney Bay, Santa Llúcia, 14°05,0′N 060°58,0′W. d.long = 45°32,6′ W.
Exemple: distància
sin 28°07,6′ × sin 14°05,0′ = 0,1147. cos 28°07,6′ × cos 14°05,0′ × cos 45°32,6′ = 0,5991. La suma és 0,7138; per tant, d = 44,455° = 2.667,3 M.
Exemple: rumb
La fórmula del cosinus dona C = 98,7°. Vas cap a l'oest, així que el rumb vertader inicial és 360° − 98,7° = 261,3°T. En arribar, el rumb ha girat fins a 244,0°T.
Comparació amb la loxodròmica
El càlcul de Mercator dona uns 252°T i 2.677,1 M per a la loxodròmica. L'ortodròmica només estalvia unes 10 M, un 0,4 %. A l'el·lipsoide WGS84, la distància més curta és de 2.671,7 M: aquí les fórmules esfèriques tenen un error de poques milles.
2Pas a pas
Distància ortodròmica i rumb inicial
- 1
Anota les dues posicions; calcula d.long i indica E o W.
d.long ha de seguir el sentit més curt, sense superar 180°.
- 2
cos d = sin L1 sin L2 + cos L1 cos L2 cos d.long; latituds S negatives.
La fórmula del cosinus esfèric resol el triangle amb el pol.
- 3
Multiplica d en graus per 60 per obtenir milles nàutiques.
Sobre una esfera, un minut d'arc equival a una milla nàutica.
- 4
cos C = (sin L2 − sin L1 cos d) ÷ (cos L1 sin d).
Dona l'angle del rumb inicial des del nord, de 0° a 180°.
- 5
Orienta'l: cap a l'est, C; cap a l'oest, 360° − C.
La fórmula no indica cap a quin costat del nord has de girar.
- 6
Compara amb la loxodròmica i comprova-ho a la carta.
Un error gros es veu de seguida; l'estalvi indica si compensa.
3Dades clau
- Distància
- cos d = sin L1 sin L2 + cos L1 cos L2 cos d.long
- Rumb inicial
- cos C = (sin L2 − sin L1 cos d) ÷ (cos L1 sin d)
- Distància de l'exemple
- Las Palmas → Rodney Bay: 2.667,3 M
- Rumbs de l'exemple
- Inicial 261,3°T; final 244,0°T
- Loxodròmica
- Uns 252°T, 2.677,1 M: l'ortodròmica estalvia unes 10 M
- Comprovació el·lipsoidal
- Distància mínima WGS84: 2.671,7 M
4Punts clau
- 1
cos d = sin L1 sin L2 + cos L1 cos L2 cos d.long; latituds sud negatives.
- 2
d en graus × 60 = distància en milles nàutiques, sobre una esfera.
- 3
La fórmula del cosinus dona el rumb inicial; si vas a l'oest, fes 360° − C.
- 4
Exemple: 2.667,3 M, inicial 261,3°T, final 244,0°T; loxodròmica 2.677,1 M.
5Errors freqüents
Error: Fes servir l'apartament (distància est–oest en milles) en lloc de d.long a la fórmula del cosinus.
Correcte: La fórmula necessita d.long en graus i minuts d'arc: l'angle al pol.
Error: Pren C = 98,7° com el rumb que has de seguir.
Correcte: C es mesura des del nord cap a qualsevol dels dos costats. Si vas a l'oest, el rumb és 360° − 98,7° = 261,3°T.
Error: Posa signe positiu a una latitud sud, com a una de nord.
Correcte: Posa signe negatiu a la latitud sud; si no, la distància i el rumb seran erronis en qualsevol ruta que travessi l'equador.
6Cas pràctic i claus d'examen
Un tripulant calcula Las Palmas–Rodney Bay i obté 2.667 M i un rumb inicial de 098,7°T. La distància sembla correcta. El pla és bo?
Veure la resposta
La distància és correcta, però el rumb apunta a l'est del sud-est, allunyant-te del Carib. L'angle C = 98,7° de la fórmula es mesura des del nord; si vas a l'oest, el rumb és 360° − 98,7° = 261,3°T. Una ullada a la carta detecta l'error: Santa Llúcia queda a l'oest-sud-oest.
Claus d'examen
- cos d = sin L1 sin L2 + cos L1 cos L2 cos d.long; d × 60 = M.
- cos C = (sin L2 − sin L1 cos d) ÷ (cos L1 sin d); cap a l'oest: 360° − C.
- Exemple: Las Palmas–Rodney Bay 2.667,3 M, inicial 261,3°T, final 244,0°T.
- Loxodròmica 2.677,1 M: estalvi d'unes 10 M en aquesta latitud.
Acaba aquesta unitat
Quan l'hagis llegida, relaciona els termes i després respon tres preguntes. Encerta-ho tot per acabar la unitat; només obrir la pàgina no compta.
Les meves notes d'aquesta unitat
Cap nota