Exemplo: distância e rumo inicial, de Las Palmas a Santa Lúcia
1A lição em palavras simples
A fórmula dos cossenos esféricos dá a distância ortodrómica. Uma segunda fórmula dá o rumo inicial. Acompanha o cálculo de uma travessia atlântica.
Distância
cos d = sin L1 × sin L2 + cos L1 × cos L2 × cos d.long. L1 é a latitude de partida e L2 a de destino. Usa sinal negativo nas latitudes sul. d.long é a diferença de longitude, nunca superior a 180°. Converte d de graus para minutos: numa esfera, cada minuto corresponde a uma milha náutica.
Rumo inicial
cos C = (sin L2 − sin L1 × cos d) ÷ (cos L1 × sin d). C varia de 0° a 180°, medido a partir do norte. Orienta-o para o destino: para este, o rumo é C; para oeste, é 360° − C.
Exemplo: dados
Das proximidades de Las Palmas, 28°07,6′N 015°25,4′W, a Rodney Bay, Santa Lúcia, 14°05,0′N 060°58,0′W. d.long = 45°32,6′ W.
Exemplo: distância
sin 28°07,6′ × sin 14°05,0′ = 0,1147. cos 28°07,6′ × cos 14°05,0′ × cos 45°32,6′ = 0,5991. A soma é 0,7138, logo d = 44,455° = 2.667,3 M.
Exemplo: rumo
A fórmula dos cossenos dá C = 98,7°. Segues para oeste, pelo que o rumo inicial é 360° − 98,7° = 261,3°T. À chegada, o rumo já mudou para 244,0°T.
Comparação loxodrómica
O cálculo em Mercator dá uma loxodromia de cerca de 252°T e 2.677,1 M. A ortodromia poupa apenas cerca de 10 M, 0,4 %. No elipsoide WGS84, a distância mínima é 2.671,7 M. Aqui, as fórmulas esféricas diferem apenas algumas milhas.
2Passo a passo
Distância ortodrómica e rumo inicial
- 1
Escreve as duas posições. Calcula d.long e indica E ou W.
d.long deve corresponder ao caminho mais curto, sem exceder 180°.
- 2
cos d = sin L1 sin L2 + cos L1 cos L2 cos d.long; latitudes S negativas.
A fórmula dos cossenos esféricos resolve o triângulo que inclui o polo.
- 3
Multiplica d em graus por 60 para obteres milhas náuticas.
Numa esfera, um minuto de arco corresponde a uma milha náutica.
- 4
cos C = (sin L2 − sin L1 cos d) ÷ (cos L1 sin d).
Obténs o ângulo do rumo inicial a partir do norte, de 0° a 180°.
- 5
Orienta o rumo: para este, C; para oeste, 360° − C.
A fórmula não indica para que lado do norte deves virar.
- 6
Compara com a loxodromia e confirma na carta.
Um erro grosseiro torna-se logo visível. A poupança indica se compensa.
3Dados-chave
- Distância
- cos d = sin L1 sin L2 + cos L1 cos L2 cos d.long
- Rumo inicial
- cos C = (sin L2 − sin L1 cos d) ÷ (cos L1 sin d)
- Distância do exemplo
- Las Palmas → Rodney Bay: 2.667,3 M
- Rumos do exemplo
- Inicial 261,3°T; final 244,0°T
- Loxodromia
- Cerca de 252°T, 2.677,1 M: a ortodromia poupa cerca de 10 M
- Verificação no elipsoide
- Distância mínima no WGS84: 2.671,7 M
4Pontos-chave
- 1
cos d = sin L1 sin L2 + cos L1 cos L2 cos d.long; latitudes sul negativas.
- 2
d em graus × 60 = distância em milhas náuticas, numa esfera.
- 3
Obtém o rumo inicial pela fórmula dos cossenos. Para oeste, usa 360° − C.
- 4
Exemplo: 2.667,3 M, inicial 261,3°T, final 244,0°T; loxodromia 2.677,1 M.
5Erros frequentes
Erro: Usar o apartamento (milhas) em vez de d.long na fórmula dos cossenos.
Correto: A fórmula exige d.long em graus e minutos de arco: o ângulo no polo.
Erro: Tomar C = 98,7° como rumo a seguir.
Correto: C mede-se a partir do norte para qualquer dos lados. Para oeste, o rumo é 360° − 98,7° = 261,3°T.
Erro: Dar sinal positivo a uma latitude sul, tal como a uma latitude norte.
Correto: Usa sinal negativo na latitude sul. Caso contrário, a distância e o rumo ficam errados num trajeto que cruze o equador.
6Caso prático e chaves de exame
Um tripulante calcula Las Palmas–Rodney Bay e obtém 2.667 M e um rumo inicial de 098,7°T. A distância parece correta. O plano está certo?
Ver a resposta
A distância está certa, mas o rumo aponta para este de sueste, afastando-te das Caraíbas. O C = 98,7° da fórmula mede-se a partir do norte. Para oeste, o rumo é 360° − 98,7° = 261,3°T. Uma consulta rápida da carta revela o erro: Santa Lúcia fica a oeste-sudoeste.
Chaves de exame
- cos d = sin L1 sin L2 + cos L1 cos L2 cos d.long; d × 60 = M.
- cos C = (sin L2 − sin L1 cos d) ÷ (cos L1 sin d); para oeste: 360° − C.
- Exemplo: Las Palmas–Rodney Bay 2.667,3 M, inicial 261,3°T, final 244,0°T.
- Loxodromia 2.677,1 M: poupança de cerca de 10 M nesta latitude.
Termina esta unidade
Quando a tiveres lido, associa os termos e depois responde a três perguntas. Acerta em tudo para concluir a unidade; só abrir a página não conta.
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