Exemple : distance et route initiale, de Las Palmas à Sainte-Lucie
1La leçon en mots simples
La formule des cosinus sphériques donne la distance orthodromique ; une seconde formule donne la route initiale. Fais le calcul pour une traversée de l’Atlantique.
Distance
cos d = sin L1 × sin L2 + cos L1 × cos L2 × cos d.long. L1 est la latitude de départ, L2 celle d’arrivée ; prends les latitudes sud négatives. d.long est la différence de longitude, jamais supérieure à 180°. Convertis d des degrés en minutes : sur une sphère, chaque minute vaut un mille marin.
Route initiale
cos C = (sin L2 − sin L1 × cos d) ÷ (cos L1 × sin d). C va de 0° à 180°, mesuré depuis le nord. Oriente-le vers ta destination : vers l’est, la route vaut C ; vers l’ouest, elle vaut 360° − C.
Exemple : données
Du large de Las Palmas, 28°07,6′N 015°25,4′W, à Rodney Bay, à Sainte-Lucie, 14°05,0′N 060°58,0′W. d.long = 45°32,6′ W.
Exemple : distance
sin 28°07,6′ × sin 14°05,0′ = 0,1147. cos 28°07,6′ × cos 14°05,0′ × cos 45°32,6′ = 0,5991. La somme vaut 0,7138, donc d = 44,455° = 2 667,3 M.
Exemple : route
La formule des cosinus donne C = 98,7°. Tu vas vers l’ouest, donc la route initiale vaut 360° − 98,7° = 261,3°V. À l’arrivée, elle est devenue 244,0°V.
Comparaison loxodromique
Le calcul sur Mercator donne environ 252°V sur 2 677,1 M en loxodromie. L’orthodromie gagne seulement environ 10 M, soit 0,4 %. Sur l’ellipsoïde WGS84, la distance minimale est de 2 671,7 M : les formules sphériques sont ici précises à quelques milles près.
2Pas à pas
Distance orthodromique et route initiale
- 1
Note les deux positions ; calcule d.long et oriente-la E ou W.
d.long doit correspondre au trajet le plus court, sans dépasser 180°.
- 2
cos d = sin L1 sin L2 + cos L1 cos L2 cos d.long ; latitudes S négatives.
La formule des cosinus sphériques résout le triangle formé avec le pôle.
- 3
Multiplie d en degrés par 60 pour obtenir les milles marins.
Sur une sphère, une minute d’arc vaut un mille marin.
- 4
cos C = (sin L2 − sin L1 cos d) ÷ (cos L1 sin d).
Tu obtiens l’angle de route initiale depuis le nord, de 0° à 180°.
- 5
Oriente la route : vers l’est, C ; vers l’ouest, 360° − C.
La formule n’indique pas de quel côté du nord tu tournes.
- 6
Compare avec la loxodromie et vérifie sur une carte.
Une grosse erreur saute aux yeux ; le gain indique si cela vaut la peine.
3Données clés
- Distance
- cos d = sin L1 sin L2 + cos L1 cos L2 cos d.long
- Route initiale
- cos C = (sin L2 − sin L1 cos d) ÷ (cos L1 sin d)
- Distance calculée
- Las Palmas → Rodney Bay : 2 667,3 M
- Routes calculées
- Initiale 261,3°V ; finale 244,0°V
- Loxodromie
- Environ 252°V, 2 677,1 M : gain orthodromique d’environ 10 M
- Contrôle sur l’ellipsoïde
- Distance minimale sur WGS84 : 2 671,7 M
4Points clés
- 1
cos d = sin L1 sin L2 + cos L1 cos L2 cos d.long ; latitudes sud négatives.
- 2
d en degrés × 60 = distance en milles marins, sur une sphère.
- 3
Route initiale par la formule des cosinus ; prends 360° − C vers l’ouest.
- 4
Exemple : 2 667,3 M, route initiale 261,3°V, finale 244,0°V ; loxodromie 2 677,1 M.
5Erreurs fréquentes
Erreur: Utiliser l’écartement est–ouest en milles au lieu de d.long dans la formule des cosinus.
Correct: La formule demande d.long en degrés et minutes d’arc : c’est l’angle au pôle.
Erreur: Prendre C = 98,7° comme route à suivre.
Correct: C est mesuré depuis le nord, d’un côté ou de l’autre. Vers l’ouest, la route vaut 360° − 98,7° = 261,3°V.
Erreur: Donner un signe positif à une latitude sud, comme à une latitude nord.
Correct: Prends un signe négatif au sud, sinon distance et route seront fausses pour toute traversée de l’équateur.
6Cas pratique et clés d'examen
Un équipier calcule Las Palmas–Rodney Bay et obtient 2 667 M avec une route initiale de 098,7°V. La distance semble juste. Le plan tient-il ?
Voir la réponse
La distance est juste, mais la route pointe à l’est du sud-est, à l’opposé des Caraïbes. C = 98,7° est mesuré depuis le nord ; vers l’ouest, la route vaut 360° − 98,7° = 261,3°V. Un regard sur la carte révèle l’erreur : Sainte-Lucie est à l’ouest-sud-ouest.
Clés d'examen
- cos d = sin L1 sin L2 + cos L1 cos L2 cos d.long ; d × 60 = M.
- cos C = (sin L2 − sin L1 cos d) ÷ (cos L1 sin d) ; vers l’ouest : 360° − C.
- Exemple : Las Palmas–Rodney Bay 2 667,3 M, route initiale 261,3°V, finale 244,0°V.
- Loxodromie 2 677,1 M : gain d’environ 10 M à cette latitude.
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Une fois la lecture terminée, associez les termes, puis répondez à trois questions. Il faut tout réussir pour terminer l’unité ; ouvrir la page ne suffit pas.
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